Question

（2013•宜宾一模）已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=1，对x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是

{m}m≤-2或m≥2或m=0}

．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义证明函数f（x）是[-1，1]上的增函数，根据函数f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

解答：解：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x）是[-1，1]上的增函数，
要使f（x）≤m²-2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²-2am+1，即1≤m²-2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²-2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=-2ma+m²，
只须

g(-1)=2m+m2≥0 g(1)=-2m+m2≥0

，解得m≤-2或m≥2或m=0，
故答案为m≤-2或m≥2或m=0．

点评：本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．