Question

1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，曲线C₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，C₁与C₂相交于A，B两点．
（1）把C₁和C₂的方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；
（2）若P为C₁上的动点，求|PA|²+|PB|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意把曲线C₁的极坐标方程${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，转化为：${C_1}：{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4$，
把曲线C₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，转化为：C₂：x-y=0，最后建立方程组$\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得交点的坐标．
（2）由（1）把圆的方程转化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），设P（-1+2cosθ，1+2sinθ），不妨设A（-1，-1），B（1，1），根据两点间的距离公式得到：
|PA|²+|PB|²=16+8sinθ-8cosθ，=$16+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
最后求得|PA|²+|PB|²的取值范围为$[{16-8\sqrt{2}，16+8\sqrt{2}}]$．

解答 解：：（1）根据题意把曲线C₁的极坐标方程${ρ^2}-2\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）-2=0$，
转化为：${C_1}：{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4$，
曲线C₂的极坐标方程为$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，
转化为：C₂：x-y=0，
建立方程组$\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}+{（{y-1}）^2}=4\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即：A（-1，-1），B（1，1）或A（1，1），B（-1，-1）．
（2）由（1）把圆的方程转化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
设P（-1+2cosθ，1+2sinθ），不妨设A（-1，-1），B（1，1），
根据两点间的距离公式得到：
|PA|²+|PB|²
=16+8sinθ-8cosθ，
=$16+8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
所所以|PA|²+|PB|²的取值范围为$[{16-8\sqrt{2}，16+8\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查的知识点：极坐标方程与普通方程的互化，圆的一般式和标准式的互化，二元二次方程组的解法，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值的求法，属于基础题型．