Question

11．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx有极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过（1，0），（2，0）点，如图所示．
（1）求原函数取得极大值时x的值（要求列表说明）；
（2）求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x₀的值；
（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．

解答 解：（1）由图象可知，

x	（-∞，1）	1	（1，2）	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	+
f（x）	递增	极大值	递减	递增

在（-∞，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∞）上f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减．
因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x=1．
（2）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，
得 $\left\{\begin{array}{l}{3a+2b+c=0}\\{12a+4b+c=0}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-9，c=12．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于中档题．