Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，-b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$cosA）垂直，
（1）求角A；
（2）若a=7，c=8，则b边是多少？

Answer 1

分析 （1）根据向量垂直坐标之间的关系建立等式，利用正弦定理化简即可求解A；
（2）利用余弦定理求解b即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（a，-b），$\overrightarrow{n}$=（sinB，$\sqrt{3}$cosA）垂直，
可得：asinB-b$\sqrt{3}$cosA=0，
即asinB=b$\sqrt{3}$cosA．
正弦定理可得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA．
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知A=$\frac{π}{3}$，a=7，c=8，
余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
即：b²-8b+15=0，
解得：b=3或5．
故得b是3或5．

点评 本题考查了向量的运算和余弦定理的运用．属于基础题．