Question

7．若对?a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，?b∈[-1，1]，使λ+alna=2b²e^b（e是自然对数的底数），则实数λ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{e}$，2e]
• B． [$\frac{1}{e}$，$\frac{2}{e}$]
• C． [$\frac{3}{e}$，2e]
• D． [$\frac{3}{e}$，$\frac{8}{{e}^{2}}$]

Answer 1

分析 令f（x）=xlnx，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，利用导数研究其单调性可得值域．令g（x）=2x²e^x，x∈[-1，1]，利用导数研究其单调性可得值域．根据对?a∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，?b∈[-1，1]，使λ+alna=2b²e^b（e是自然对数的底数），即可得出．

解答 解：令f（x）=xlnx，x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]，
f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx=0，解得x=$\frac{1}{e}$．
∴函数f（x）在$[\frac{1}{{e}^{2}}，\frac{1}{e}]$内单调递减，在$（\frac{1}{e}，1]$内单调递增．
∴f（x）_min=$f（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$，
又$f（\frac{1}{{e}^{2}}）$=-$\frac{2}{{e}^{2}}$，f（1）=0，∴f（x）_max=f（1）=0．
∴f（x）∈$[-\frac{1}{e}，0]$．
令g（x）=2x²e^x，x∈[-1，1]，
g′（x）=2x（x+2）e^x，
∴函数g（x）在[-1，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增．
∴g（x）_min=g（0）=0．又g（-1）=$\frac{2}{e}$，g（1）=2e，∴g（x）的最大值为2e．
∴g（x）∈$[\frac{2}{e}，2e]$．
∴$[λ-\frac{1}{e}，λ]$=$[\frac{2}{e}，2e]$．
解得λ∈$[\frac{3}{e}，2e]$．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．