Question

16．在四边形ABCD中，已知BC=2，DC=4，且∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10
（1）求BD的长；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据∠A：∠ABC：∠C：∠ADC=3：7：4：10，求出C的度数，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出BD的长；
（2）利用勾股定理的逆定理求出∠CBD为直角，进而求出∠ABD的度数，得到∠BDA的度数，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的长即可．

解答 解：（1）连结BD，由题意得∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=60°，∠ADC=150°，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=BC²+CD²-2BC•CDcosC=4+16-8=12，
解得：BD=2$\sqrt{3}$．
（2）∵BD²+BC²=CD²，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABD=15°，
∴∠BDA=120°，
在△ABD中，由正弦定理$\frac{AB}{sin∠ADB}$=$\frac{BD}{sinA}$，
则AB=$\frac{BD•sin∠ADB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．