Question

6．已知函数y=log_ax+1（a＞0，a≠1）恒过点（m，n），其中（m，n）满足方程3a²x+2b²y=a²b²，且a²+4b²=t，则t的最小值为14+4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 函数y=log_ax+1（a＞0，a≠1）恒过点（1，1），可得m=n=1.3a²+2b²=a²b²，化为：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1．可得t=a²+4b²=（a²+4b²）$（\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}）$=14+$\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵函数y=log_ax+1（a＞0，a≠1）恒过点（1，1），
∴m=n=1．
∴3a²+2b²=a²b²，化为：$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}$=1．
∴t=a²+4b²=（a²+4b²）$（\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}）$=14+$\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$
≥14+2$\sqrt{\frac{8{b}^{2}}{{a}^{2}}×\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}}$=14+4$\sqrt{6}$，当且仅当$\sqrt{3}{a}^{2}$=2$\sqrt{2}{b}^{2}$=6$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$时取等号．
故答案为：14+4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了对数函数的性质、基本不等式的性质、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．