Question

12．已知函数y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，f（x）的导函数为f′（x）且当x＞0时，xf′（x）-2f（x）＜0，则一定成立的是（　　）

• A． 16f（-3）＞9f（4）
• B． 16f（3）＜9f（-4）
• C． 9f（3）＞16f（4）
• D． 9f（-3）＜16f（-4）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，令a=g（3）=$\frac{f（3）}{9}$，b=g（4）=$\frac{f（4）}{16}$，c=g（-3）=$\frac{f（-3）}{9}$，d=g（-4）=$\frac{f（-4）}{16}$，结合函数单调性分析可得g（3）=g（-3）＞g（4）=g（-4），由次分析选项，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
其导数g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-（{x}^{2}）′•f（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{x•f′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由当x＞0时，xf′（x）-2f（x）＜0，
则有当x＞0时，g′（x）=$\frac{x•f′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＜0，
即函数g（x）在（0，+∞）上为减函数，
令a=g（3）=$\frac{f（3）}{9}$，b=g（4）=$\frac{f（4）}{16}$，c=g（-3）=$\frac{f（-3）}{9}$，d=g（-4）=$\frac{f（-4）}{16}$，
则有g（3）=g（-3）＞g（4）=g（-4），
分析选项可得：
若g（-3）＞g（4），即$\frac{f（-3）}{9}$＞$\frac{f（4）}{16}$，分析可得16f（-3）＞9f（4），故A正确；
若g（3）＞g（-4），即$\frac{f（3）}{9}$＞$\frac{f（-4）}{16}$，分析可得16f（3）＞9f（-4），故B错误；
若g（3）＞g（4），即$\frac{f（3）}{9}$＞$\frac{f（4）}{16}$，分析可得16f（3）＞9f（-4），而9f（3）＞16f（4）不一定成立，故C错误；
若g（-3）＞g（-4），即$\frac{f（-3）}{9}$＞$\frac{f（-4）}{16}$，分析可得16f（-3）＞9f（-4），而9f（-3）＜16f（-4）不一定成立，故D错误；
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，求函数的导数，利用函数的导数求函数的单调性是解决本题的关键．