Question

20．在极坐标系中，曲线C的方程为$ρ=4cosθ+2sinθ-\frac{3}{ρ}$，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先把曲线转化为：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ-3，整理得：（x-2）²+（y-1）²=2．进一步转化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所得的参数方程，进一步利用三角函数的恒等变换变换成正弦型三角函数，最后求出函数关系式的最值及坐标．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的方程为$ρ=4cosθ+2sinθ-\frac{3}{ρ}$，转化为：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ-3，
整理得：（x-2）²+（y-1）²=2．
进一步转化为参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=1+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
x+y=$3+\sqrt{2}（sinθ+cosθ）$，
=$3+2sin（θ+\frac{π}{4}）$，
当且仅当$θ=\frac{π}{4}$时，（x+y）_max=5．
M（3，2）为取得最大值时的坐标．

点评 本题考查的知识点：极坐标方程与参数方程和普通方程的互化，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的最值，属于基础题型．