Question

2．如图所示，两个非共线向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则x²+y²的最小值为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 点C、M、N共线，可得$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1，$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}λ\overrightarrow{OM}$+$\frac{1}{2}μ\overrightarrow{OC}$，即$x+y=\frac{1}{2}（λ+μ）=\frac{1}{2}$．由$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}≥（\frac{x+y}{2}）^{2}=（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{16}$．即可求解

解答 解：因为点C、M、N共线，所以$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1，
又因为M、N分别为OA与OB的中点，∴$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}λ\overrightarrow{OM}$+$\frac{1}{2}μ\overrightarrow{OC}$．，
∴$x+y=\frac{1}{2}（λ+μ）=\frac{1}{2}$．
由$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}≥（\frac{x+y}{2}）^{2}=（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{16}$．
可得x²+y²$≥\frac{1}{8}$，当x=y=$\frac{1}{4}$时，取等号．
故答案为：$\frac{1}{8}$

点评 题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以$\overrightarrow{OC}$=$λ\overrightarrow{OM}+μ\overrightarrow{ON}$，且λ+μ=1“的应用，属于中档题．