Question

已知函数f（x）为R上的奇函数且x＜0时f（x）=（

1

2

）^x-7，则不等式f（x）＜1的解集为

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：项由条件利用函数的奇偶性求出函数解析式，分类讨论求得不等式的解集，综合可得结论．

解答： 解：由题意可得，f（0）=0．设x＞0，则-x＜0，由题意可得f（-x）=2^x-7=-f（x），
求得f（x）=7-2^x，即 f（x）=

( 1 2 )x-7  ，x＜0 0  ， x=0 7-2x ， x＞0

．
显然，x=0满足不等式．
当x＜0时，由f（x）＜1可得（

1

2

）^x-7＜1，可得-x＜3，∴0＞x＞-3．
当x＞0时，由f（x）＜1可得7-2^x＜1，可得2^x＞6，∴x＞log₂6．
综上可得，不等式的解集为{x|-3＜x≤0，或 x＞log₂6}．
故答案为：{x|-3＜x≤0，或 x＞log₂6}．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，指数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．