Question

下列说法中正确的是

 

．
①若散点图所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②已知随机变量?服从正态分布N（2，a²），且P（ξ＜4）=0.9，则P（0＜ξ＜2）=0.4；
③

∫

0 -1

1-x2

dx=

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

；
④E（2ξ+3）=2E（ξ+3）；D（2ξ+3）=2D（ξ）+3．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：概率与统计

分析：本题①运用散点图的概念判断命题真假；②利用正太分布的规律计算概率大小；③用定积分公式求值；④运用均值和方差地计算规律进行判断．

解答： 解：（1）将两个变量相对应的数据表示的数对在直角坐标系中用点表示出来，就是散点图．如果散点图所有点都在一条直线附近，可以用一个一次函数近似地表示它们的关系，用方程为

^y=bx+a

的直线拟合散点图中的点，与散点图中的点最接近的直线回归直线．故①不正确；
（2）已知随机变量?服从正态分布N（2，a²），
∵P（ξ＜4）=P(

ξ-2

a

＜

4-2

a

)=P(Z＜

2

a

)，且P（ξ＜4）=0.9，
∴P(Z＜

2

a

)=0.9．
则P（0＜ξ＜2）=P(

0-2

a

＜

ξ-2

a

＜

2-2

a

)
=P(

-2

a

＜Z＜0)
=P(0＜Z＜

2

a

)
=P(Z＜

2

a

)-P(Z≤0)
=0.9-0.5=0.4，
即P（0＜ξ＜2）=0.4，故选项②正确；
（3）

∫

0 -1

1-x2

dx表示曲线y=

1-x2

、x轴在x=-1，x=0间围成的图形的面积，

∫

1 0

1-x2

dx表示曲线y=

1-x2

、x轴在x=0，x=1间围成的图形的面积，而曲线y=

1-x2

即圆x²+y²=1在y≥0时的部分，故所求面积为圆的四分之一，即S=

1

4

×π×12=

π

4

，故选项③正确；
（4）E（2ξ+3）=2E（ξ）+3；D（2ξ+3）=4D（ξ）．故④不正确．
故答案为②③．

点评：本题考查了回归直线的概念、正太分布的概率、定积分求面积、均值和方差的变化特征．本题有一定的计算量，综合性较强，属于中档题．