Question

已知函数①f（x）=x²；②f（x）=lnx；③f（x）=e^cosx；④f（x）=e^x．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一的一个自变量x₂，使f（x₁）•f（x₂）=1成立的函数是

 

（请填序号，多填、少填均不给分）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：根据题中所给的新定义，试用选项中提供的函数，对新定义进行验证，选出符合新定义的函数序号．

解答： 解：①当f（x）=x²时，
对于f（x）定义域内的一个自变量x₁=0，对于任意自变量x₂，f（x₁）=x12=0，f（x₁）•f（x₂）=0≠1．故函数①不符合题中条件；
②当f（x）=lnx时，
对于f（x）定义域内的一个自变量x₁=1，对于任意自变量x₂，f（x₁）=lnx₁=0，f（x₁）•f（x₂）=0≠1．故函数②不符合题中条件；
③当f（x）=e^cosx时，
对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在一个自变量x₂=π+x₁，cosx₂=cos（π+x₁）=-cosx₁，
f（x₁）•f（x₂）=ecosx1•ecosx2=ecosx1+cosx2=e0=1；
对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在一个自变量x₂=3π+x₁，cosx₂=cos（3π+x₁）=-cosx₁，
f（x₁）•f（x₂）=ecosx1•ecosx2=ecosx1+cosx2=e0=1；
x₂不惟一．故函数③不符合题中条件；
④当f（x）=e^x时，
对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，存在唯一的一个自变量x₂=-x₁，f（x₁）•f（x₂）=ex1•ex2=ex1+x2=e0=1．
故函数④符合题中条件．
故答案为④．

点评：本题通过抽象函数的一个特征，研究了二次函数、对数函数、指数函数、三角函数的运算性质和规律．本题思维能力要求高，计算难度较大，属于中档题．