Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$（t为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=4sinθ，
（1）求曲线C₁与C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁与C₂交于M，N两点，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）C₁的参数方程，C₂的极坐标方程ρ=4sinθ都转化为直角坐标方程．即可．
（2）利用圆心到直线x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距离为d，半径以及半弦长满足勾股定理求解即可．

解答 解：（1）由题意得，C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=4+t}\end{array}\right.$转化为直角坐标方程为x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0，C₂的极坐标方程ρ=4sinθ转化为直角坐标方程为x²+y²=4y，
即x²+（y-2）²=2²，…（5分）
（2）圆心（0，2）到直线x+$\sqrt{3}$y-4$\sqrt{3}$=0的距离为d=$\frac{||0+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
所以|MN|=2$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=2．…（10分）

点评 本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．