Question

9．已知函数f（x）=ax²-lnx（a∈R）
（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；
（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线方程，根据对应关系求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-lnx，
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，f（1）=a，f′（1）=2a-1，
故切线方程是：y-a=（2a-1）（x-1），
即y=（2a-1）x-a+1=x+b，
故2a-1=1，b=-a+1，
解得：a=1，b=0；
（2）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，f′（2）=4a-$\frac{1}{2}$=0，解得：a=$\frac{1}{8}$，
∴f（x）=$\frac{1}{8}$x²-lnx，
f′（x）=$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{4x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
故f（x）在[$\frac{1}{e}$，2]递减，在[2，e]递增，
故f（x）的最大值是f（$\frac{1}{e}$）或f（e），
而f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{8e}^{2}}$-1＜f（e）=$\frac{{e}^{2}}{8}$-1，
故函数的最大值是f（e）=$\frac{{e}^{2}}{8}$-1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．