Question

19．已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sin²B=2sinAsinC．
（1）若a=b，求cosB；
（2）设B=90°，且△ABC的面积为1，求a．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，sin²B=2sinAsinC，转化成b²=2ac，由a=b，代入即可求得a=b=2c，根据余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，代入即可求得cosB的值；
（2）由B=90°，根据勾股定理可知b²=a²+c²，由（1）可得b²=2ac，代入可求得a=c，由三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$ac=1，求a．

解答 解：（1）在△ABC中由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
∵sin²B=2sinAsinC，
∴b²=2ac，
∵a=b，
∴a=b=2c，
由余弦定理可知：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$，
cosB=$\frac{1}{4}$，
（2）B=90°，b²=a²+c²，
∵b²=2ac，
∴2ac=a²+c²，
∴a=c，
∵S=$\frac{1}{2}$ac=1，
∴a=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查勾股定理及三角形面积公式，属于中档题．