Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{3}{x}$+2，（x≥$\sqrt{3}$）．
①判断函数y=f（x）在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上的单调性，并加以证明．
②若函数g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且满足g（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 ①函数y=f（x）在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增，利用导数加以证明．
②若函数g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且满足g（x）≥a恒成立，则x²-2x+2≥a（x≥$\sqrt{3}$）恒成立，求出左边的最小值，即可求a的取值范围．

解答 解：①函数y=f（x）在区间[$\sqrt{3}$，+∞]上单调递增．
证明如下：∵f（x）=x+$\frac{3}{x}$+2，
∴f′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$，
∵x≥$\sqrt{3}$，
∴f′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$≥0，
∴函数y=f（x）在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增．
②∵函数g（x）=f（x）+x²-3x-$\frac{3}{x}$，且满足g（x）≥a恒成立，
∴x²-2x+2≥a（x≥$\sqrt{3}$）恒成立，
∵x≥$\sqrt{3}$，∴x²-2x+2≥5-2$\sqrt{3}$，
∴a≤5-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，属于中档题．