Question

8．证明：设S_n=$\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}$+…+$\sqrt{n（{n+1}）}$（n∈N₊）时，不等式$\frac{{n（{n+1}）}}{2}＜{S_n}＜\frac{{n（{n+3}）}}{2}$．

Answer 1

分析 根据不等式n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，利用等差数列的求和公式得出结论．

解答 证明：设a_n=n，b_n=n+1，{a_n}的前n项和为A_n，{b_n}的前n项和为B_n，
则A_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，B_n=2+3+4+…+（n+1）=$\frac{n（n+3）}{2}$．
∵n＜$\sqrt{n（n+1）}$＜n+1，
∴A_n＜S_n＜B_n．
即$\frac{n（n+1）}{2}$＜S_n＜$\frac{n（n+3）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．