Question

3．已知函数f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，且a=4，b+c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由正弦函数周期公式，代入求得ω值，求得f（x）的解析式，根据x的取值范围，即可求得y=f（x）的值域；
（Ⅱ）f（$\frac{A}{2}$）=1，由A∈（0，π）求得$A=\frac{2π}{3}$，由余弦定理求得bc=9，再由三角形面积公式，S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即可求得△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={cos^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx$，
=$\frac{1}{2}（1+cos2ωx）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx$，
=$sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$．（3分）
因为T=π，ω＞0，
所以$\frac{2π}{2ω}=π$，ω=1．
所以$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
又$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
所以$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
所以$0≤sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$，
当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，函数f（x）的值域为$[{0，\frac{3}{2}}]$．（6分）
（Ⅱ）因为$f（{\frac{A}{2}}）=1$，
所以$sin（{A+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=1$，即$sin（{A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
由A∈（0，π）知$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
所以$A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
所以$A=\frac{2π}{3}$．（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²+bc，
所以16=（b+c）²-bc，
因为b+c=5，所以bc=9，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×9×sin\frac{2π}{3}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．（12分）

点评 本题考查三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，正弦定理及余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．