Question

13．如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA₁=5，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则A₁C的长为$\sqrt{85}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，求模长即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|²=|$\overrightarrow{{A}_{1}A}$|²+|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{{A}_{1}A}$•$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=5²+4²+3²+2×5×4cos60°+2×5×3cos60°+2×4×3cos90°
=85，
∴|$\overrightarrow{{A}_{1}C}$|=$\sqrt{85}$，即A₁C的长是$\sqrt{85}$．
故答案为：$\sqrt{85}$．

点评 本题考查了线段长度的求法，解题时应利用空间向量的知识求模长，是基础题目．