Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$
（1）当a=$\frac{4}{3}$时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）为R上的单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，a=0时，不合题意，a≠0时，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=$\frac{4}{3}$时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+{\frac{4}{3}x}^{2}}$，
f′（x）=$\frac{{3e}^{x}（2x-3）（2x-1）}{{（3+{4x}^{2}）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$或x＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$，f（x）_极小值=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{e\sqrt{e}}{4}$；
（2）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（{ax}^{2}-2ax+1）}{{（1+{ax}^{2}）}^{2}}$，
a=0时，f′（x）＞0，f（x）递增，符合题意，
a≠0时，若f（x）为R上的单调函数，
只需函数g（x）=ax²-2ax+1和x轴的交点最多是1个，
故△=4a²-4a≤0，解得：0≤a≤1，
综上：0≤a≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．