Question

15．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
（1）求X的分布列；
（2）求X的均值与方差；
（3）求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）由X的分布列能求出X的均值E（X）和方差D（X）．
（3）“所选3人中女生人数X≤1”的概率p=p（X=0）+P（X=1），由此能求出结果．

解答 解：（1）∵从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，
设随机变量X表示所选3人中女生的人数，
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

（2）X的均值E（X）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．
X的方差D（X）=$（0-1）^{2}×\frac{1}{5}+（1-1）^{2}×\frac{3}{5}$+（2-1）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（3）“所选3人中女生人数X≤1”的概率：
p=p（X=0）+P（X=1）=$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．