Question

19．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线$\sqrt{2}x+y-3\sqrt{3}=0$相切．
（1）求圆O的方程；
（2）直线l：y=kx+4与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得△OAM与△OBM都为等边三角形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径r的值，可得所求的圆的方程；
（2）由直线l与圆O相交，得到圆心到直线l的距离d小于圆的半径r，利用关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，假设存在点M，使得△OAM与△OBM都为等边三角形，则四边形OAMB为菱形，利用菱形的性质得到对角线OM与AB垂直且平分，可得出圆心O到直线l的距离d等于|OM|的一半，即为半径的一半，根据半径求出d的值，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，代入k范围中检验，满足条件，故存在点M，使得△OAM与△OBM都为等边三角形．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²=r²，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r=$\frac{|-3\sqrt{3}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}=3$，
∴圆的方程是x²+y²=9；
（2）假设在圆O上是否存在一点M，使得△OAM与△OBM都为等边三角形．
直线l：y=kx+4与圆O相交于A，B两点，
∴圆心O到直线l的距离d=$\frac{|4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＜3$，
解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{3}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
且四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，
∴圆心O到直线l：y=kx+4的距离d=$\frac{1}{2}$|OM|=$\frac{3}{2}$，
即d=$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{3}{2}$，整理得：k²=8，
解得：k=±$\frac{\sqrt{55}}{3}$，经验证满足条件，
∴存在点M，使得△OAM与△OBM都为等边三角形，此时直线l的斜率$±\frac{\sqrt{55}}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线的交点问题，菱形的性质，以及两直线垂直时斜率满足的关系，是中档题．