Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+

3

4

）上存在极值，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f（x）≥

a

x+2

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=-

lnx

x2

，由此利用导数性质结合已知条件能求出实数k的取值范围．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

a

x+2

，又x≥2，则

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，由此利用构造法及导数性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值；
因为函数f（x）在区间（k，k+

3

4

），（其中k＞0）上存在极值，
所以

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

，解得

1

4

＜k＜1．
（Ⅱ）不等式f（x）≥

a

x+2

，又x≥2，
则

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，记g（x）=

(x+2)(1+lnx)

x

，
则g′(x)=

x-2lnx

x2

，
令h（x）=x-2lnx，则h′(x)=1-

2

x

，
∵x≥2，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
从而g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
∴a≤2（1+ln2）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．