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    当p1，p2，…，pn均为正数时，称为p1，p2，…，pn的“均倒数”．已知数列{an}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为．
    （Ⅰ）试求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设，试判断并说明cn+1-cn（n∈N*）的符号；
    （Ⅲ）已知，记数列{bn}的前n项和为Sn，试求的值；
    （Ⅳ）设函数，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？
    【答案】分析：（Ⅰ）先利用条件求得a1+a2++an-1+an=n（2n+1）和a1+a2++an-1=（n-1）（2n-1），两式作差就可求出数列{an}的通项公式（注意检验n=1是否成立）；     
    （Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的数列{an}的通项公式代入即可求出cn+1-cn再利用函数的单调性就可判断出cn+1-cn（n∈N*）的符号；
    （Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的数列{an}的通项公式代入即可求出数列{bn}的通项公式，再对等比数列{bn}分公比等于1和不等于1两种情况分别求和即可找到的值；
    （Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{cn}是单调递增数列，c1=1是其最小项，所以f（x）≤0恒成立可以转化为-x2+4x≤c1=1，再解不等式就可找到对应的最大的实数λ．
    解答：解：（Ⅰ）由题得：a1+a2++an-1+an=n（2n+1）   ①，
    a1+a2++an-1=（n-1）（2n-1）           ②，
    两式相减，得an=4n-1（n≥2）．
    又，解得a1=3=4×1-1，
    ∴an=4n-1（n∈N+）．（4分）
    （Ⅱ）∵cn=，cn+1=，
    ∴cn+1-cn=＞0，即cn+1＞cn．（7分）
    （Ⅲ）∵bn=tan=t4n-1（t＞0），
    ∴Sn=b1+b2++bn=t3+t7++t4n-1，
    当t=1时，Sn=n，；（8分）
    当t＞0且t≠1时，Sn=，．（10分）
    综上得，（11分）
    （Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{cn}是单调递增数列，c1=1是其的最小项，即cn≥c1=1．
    假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）=-x2+4x-≤0恒成立，
    则-x2+4x≤（n∈N+）．
    只需-x2+4x≤c1=1，即x2-4x+1≥0．
    解之得x≥2+或x≤2-．
    于是，可取λ=2-（14分）
    点评：本题是对数列知识．函数知识以及恒成立问题的综合考查．在利用等比数列的求和公式时，一定要看公比的取值，在不确定的情况下，要分清况讨论．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线C的方程为
    x2
    4
    -
    y2
    5
    =1，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
    （I）求m的值；
    （II）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P1，P2，且点P分有向线段
    P1P2
    所成的比为λ（λ＞0）．当λ∈[
    3
    4
    ，
    3
    2
    ]    时，求|
    OP1
    ||
    OP2
    |（O为坐标原点）的最大值和最小值．

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    已知动点P的轨迹方程为：
    x2
    4
    -
    y2
    5
    =1（x＞2），O是坐标原点．
    ①若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，求实数m的值；
    ②设过P的轨迹上的点P的直线与该双曲线的两渐近线分别交于点P1、P2，且点P分有向线段
    P1P2
    所成的比为λ（λ＞0），当λ∈[
    3
    4
    ，
    3
    2
    ]时，求|
    OP1
    |•|
    OP2
    |的最值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•遂宁二模）己知双曲线C的方程为
    x2
    4
    -
    y2
    5
    =1    ，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
    （Ⅰ）求m的值；
    （Ⅱ）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P1、P2，且点P分有向线段
    P1P2
    所成的比为λ（λ＞0），当λ=
    2
    3
    时，求|
    op1
    |•|
    OP2
    |    （O为坐标原点）的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （09年湖北鄂州5月模拟理）已知两定点A(－3，0)，B(3，0)，动圆M与直线AB相切于点N，且，现分别过点A、B作动圆M的切线（异于直线AB），两切线相交于点P．

    ⑴求动点P的轨迹方程；

    ⑵若直线xmy3＝0截动点P的轨迹所得的弦长为5，求m的值；

        ⑶设过轨迹上的点P的直线与两直线分别交于点P1、P2，且点P分有向线段所成的比为λ(λ＞0)，当λ∈时，求的最值．

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    已知动点P的轨迹方程为：-=1（x＞2），O是坐标原点．
    ①若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，求实数m的值；
    ②设过P的轨迹上的点P的直线与该双曲线的两渐近线分别交于点P1、P2，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），当λ∈[，]时，求||•||的最值．

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