Question

3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，2$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，3$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，3$\overrightarrow{CE}$=2$\overrightarrow{EA}$．设CF与AD交于p点，AD与BE交于Q点，BE与CF交于R点．
（1）求证：$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AD}$；
（2）若S_△AQB=k•S_△ABC，求k的值；
（3）求△PQR与原△ABC的面积之比．

Answer 1

分析 （1）由B，Q，E三点共线，可得存在实数t，使得$\overrightarrow{AQ}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AE}$=t$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{5}$（1-t）$\overrightarrow{AC}$．设$\overrightarrow{AQ}$=r$\overrightarrow{AD}$，可得$\overrightarrow{AQ}$=r$（\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}）$=r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$\overrightarrow{AB}$．再利用平面向量基本定理即可得出．
（2）S_△AQB=$\frac{1}{2}AB•AQsin∠BAQ$，把（1）的结论代入进而得出k．
（3）由（2）同理可得：$\overrightarrow{BR}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{9}{10}$$\overrightarrow{CF}$．S_△BCR=$\frac{1}{3}$S_△ABC．S_ACP=$\frac{3}{10}$S_△ABC．即可得出．

解答 （1）证明：∵B，Q，E三点共线，
∴存在实数t，使得$\overrightarrow{AQ}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AE}$=t$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{5}$（1-t）$\overrightarrow{AC}$．
设$\overrightarrow{AQ}$=r$\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{AQ}$=r$（\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}）$=r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$r$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$r$\overrightarrow{AB}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{3}{4}r}\\{\frac{3（1-t）}{5}=\frac{1}{4}r}\end{array}\right.$，解得r=$\frac{6}{7}$．
∴$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AD}$．
（2）解：S_△AQB=$\frac{1}{2}AB•AQsin∠BAQ$=$\frac{1}{2}×\frac{6}{7}AD$•AQ•sin∠BAQ
=$\frac{6}{7}$•S_△ABD=$\frac{6}{7}$×$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{14}$S_△ABC．
∴k=$\frac{3}{14}$．
（3）解：由（2）同理可得：$\overrightarrow{BR}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CP}$=$\frac{9}{10}$$\overrightarrow{CF}$．
S_△BCR=$\frac{1}{3}$S_△ABC．S_ACP=$\frac{3}{10}$S_△ABC．
∴S_△PQR=$（1-\frac{3}{14}-\frac{1}{3}-\frac{3}{10}）$S_△ABC=$\frac{16}{105}$S_△ABC．

点评 本题考查了向量共线定理、三角形法则、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．