Question

15．在极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求C₁和C₂的参数方程
（Ⅱ）已知射线l₁：θ=α（0$＜α＜\frac{π}{2}$），将l₁逆时针旋转$\frac{π}{6}$得到l₂；θ=$α+\frac{π}{6}$，且l₁与C₁交于O，P两点，l₂与C₂交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C₁和C₂的参数方程即可；
（Ⅱ）设出P，Q的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P的极坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C₁的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4
所以C₁参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.\;（α$为参数）．…（3分）
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-2）²=4．
所以C₂参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosβ}\\{y=2+2sinβ}\end{array}}\right.\;（β$为参数）    …（6分）
（Ⅱ）设点P极坐标为（ρ₁，α），即ρ₁=4cosα，
点Q极坐标为$（{ρ_2}，\;α+\frac{π}{6}）$，即${ρ_2}=4sin（α+\frac{π}{6}）$．…（8分）
则$|{OP}|•|{OQ}|={ρ_1}{ρ_2}=4cosα•4sin（α+\frac{π}{6}）$
=$16cosα•（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα）$=$8sin（2α+\frac{π}{6}）+4$…（10分）
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）\;.\;∴2α+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\;\frac{7π}{6}）$，
当$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}\;，\;\;α=\frac{π}{6}$时|OP|•|OQ|取最大值，
此时P点的极坐标为$（2\sqrt{3}\;，\frac{π}{6}）$．…（12分）

点评 本题考查了坐标方程之间的转化，考查三角函数的性质，是一道中档题．