Question

7．四边形ABCD中，AB=BC，AD⊥DC，AC=2，∠ACD=θ，若$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}$，则cos2θ等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 根据题意，利用平面向量的线性表示与数量积运算定义，求出模长|$\overrightarrow{DC}$|，
从而得出cosθ，再利用二倍角公式计算cos2θ的值．

解答 解：如图所示，取AC的中点O，连接OD，OB，
∵AB=BC，OA=OC，
∴OB⊥AC，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0；
又∵$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{DO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$），
∴（$\overrightarrow{DO}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）•$\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{DA}$+$\overrightarrow{DC}$）•（$\overline{DC}$-$\overrightarrow{DA}$）
=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DA}}^{2}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{DC}}^{2}$=$\frac{1}{3}$①，
又AD⊥DC，
∴${\overrightarrow{DA}}^{2}$+${\overrightarrow{DC}}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$=4②，
由①②解得${\overrightarrow{DC}}^{2}$=$\frac{7}{3}$，
∴|$\overrightarrow{DC}$|=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DC}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{\sqrt{\frac{7}{3}}}{2}$；
∴cos2θ=2cos²θ-1=2×$\frac{7}{12}$-1=$\frac{1}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了三角形的性质与倍角公式的应用问题，是综合题．