Question

13．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：对于任意实数θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ．

Answer 1

分析 若对于任意实数θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ成立，利用正弦定理，余弦定理化简可得：asinB-bsinA=0，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得恒成立，从而得证．

解答 证明：∵若对于任意实数θ，恒有acos（θ-B）+bcos（θ+A）=ccosθ成立，
∴则：acosθcosB+asinBsinθ+bcosθcosA-bsinθsinA=ccosθ，
∴移项，可得：sinθ（asinB-bsinA）=（c-acosB-bcosA）cosθ，
得：sinθ（asinB-bsinA）=（c-a$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-b$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）cosθ，
∴化简，得：sinθ（asinB-bsinA）=0，
∴asinB-bsinA=0，即asinB=bsinA，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得恒成立．
故得证．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．