Question

18．已知圆O：x²+y²=1的弦AB长为$\sqrt{2}$，若线段AP是圆O的直径，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=2；若点P为圆O上的动点，则$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围是[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．

Answer 1

分析 由题意画出图形并求出∠BAP=45°，代入数量积公式求得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$；求出A、B的坐标，设出P的坐标，可得$\overrightarrow{AP}、\overrightarrow{AB}$的坐标，把$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$转化为三角函数求最值．

解答 解：如图，

由题意可得，∠BAP=45°，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AP}|cos45°=\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$；
由题意得A（1，0），B（0，1），设P（cosθ，sinθ），
则$\overrightarrow{AB}=（-1，1）$，$\overrightarrow{AP}=（cosθ-1，sinθ）$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=-cosθ+1+sinθ=sinθ-cosθ+1=$\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+1$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的取值范围是[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．
故答案为：2；[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+1$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，体现了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．