Question

1．△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，P是△ABC所在平面上任意一点，则μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$．

Answer 1

分析 以A点为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图所述的坐标系，设P的坐标为（x，y），分别表示出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{PC}$，再根据向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出．

解答 解：以A点为原点，以AC所在的直线为x轴，
建立如图所述的坐标系，
∵AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴A（0，0），C（$\sqrt{3}$，0），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
设P（x，y），可得$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$-x，-y）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-x（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x）-y（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y）=x²+y²-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-x）（$\sqrt{3}$-x）+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-y）（-y）=x²+y²-
（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$=（-x）（$\sqrt{3}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-$\sqrt{3}$x，
∴μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$
=3x²+3y²-（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$）x-$\sqrt{2}$y+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=3（x-$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$）²+3（y-$\frac{\sqrt{2}}{6}$）²+$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$
∴当x=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{6}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{6}$时，μ=$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}-11}{6}$

点评 本题查了平面向量数量积的计算公式和二次函数求最值等知识，属于中档题．