Question

11．已知函数f（x）=|x-1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）+x=0有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；
（2）设u（x）=|x|-|x-1|-x，做出y=u（x）和y=a的图象，方程f（x）+x=0有三个不同的解，转化成y=u（x）与y=a的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=|x-1|-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜0}\\{1-2x，0≤x＜1}\\{-1，x≥1}\end{array}\right.$，
所以当x＜0时，f（x）=1＞0，符合题意；
当0≤x＜1时，f（x）=1-2x≥0，解得0≤x$≤\frac{1}{2}$；
当x≥1时，f（x）=-1＜0，不符合题意．
综上可得，f（x）≥0的解集为（$-∞，\frac{1}{2}$]．
（2）设u（x）=|x|-|x-1|-x，y=u（x）的图象
和y=a的图象如图所示．
易知y=u（x）的图象与y=a的图象有3个交点时，
a∈（-1，0），
所以实数a的取值范围为（-1，0）．

点评 本题主要考查绝对值不等式求解，函数与方程的应用，分段函数的图象和性质，综合性较强，属于中档题