Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点，且P点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），|$\overrightarrow{OQ}$|=2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象，求出A，ω和φ的值即可，
（2）根据函数的图象变换关系求出g（x），利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数进行化简求解即可．

解答 解：（1）∵P点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），|$\overrightarrow{OQ}$|=2，
∴A=1，T=$\frac{2π}{ω}$=4（2-$\frac{1}{2}$）=6，
则ω=$\frac{π}{3}$，则f（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+φ），
由f（$\frac{1}{2}$）=sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1，
由0＜φ＜$\frac{π}{2}$得$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
得φ=$\frac{π}{3}$，
得f（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）．
（2）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin$\frac{π}{3}$x，
则h（x）=f（x）•g（x）=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$x=$\frac{1}{2}$sin²$\frac{π}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{3}$xcos$\frac{π}{3}$x
=$\frac{1-cos\frac{2π}{3}x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin$\frac{2π}{3}$x=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$
x∈[0，2]时，$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=1时，函数取得最大值此时h（x）的最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的恒等变换，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．