Question

12．某企业生产的一种产品的广告费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的统计数据如表：

广告费用x	1	2	3	4	5
销售额y	10	15	25	45	55

（1）根据上述数据，求出销售额y（万元）关于广告费用x（万元）的线性回归方程；
（2）如果企业要求该产品的销售额不少于36万元，则投入的广告费用应不少于多少万元？
（参考数值：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}=15$，$\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}=150$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=570$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=55$，$\sum_{i=1}^{5}{{y}_{i}}^{2}=6000$．

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）根据题意，由表格中的数据计算可得$\overline{x}$、$\overline{y}$的值，进而可得5$\overline{x}$$\overline{y}$与5$\overline{x}$²的值，将其代入回归直线的方程计算可得答案；
（2）根据题意，由（1）求出的回归直线方程可得y=12x-6≥36，解可得x的范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，由表格中数据可得：$\overline{x}$=$\frac{1+2+3+4+5}{5}$=3，$\overline{y}$=$\frac{10+15+25+45+55}{5}$=30，
则5$\overline{x}$$\overline{y}$=450，5$\overline{x}$²=45，
$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5\stackrel{-2}{x}}$=$\frac{570-450}{55-45}$=12，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=30-12×3=-6，
故所求的回归直线的方程$\widehat{y}$=12x-6；
（2）如果企业要求该产品的销售额不少于36万元，
则有y=12x-6≥36，
解可得x≥3.5；
答：投入的广告费用应不少于3.5万元．

点评 本题考查线性回归方程的计算与应用，关键是掌握线性回归直线方程的计算方法．