Question

9．已知函数f（x）=x²+e^x-$\frac{1}{2}$（x＞0）与g（x）=x²+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． （-$\sqrt{e}$，$\sqrt{e}$）
• B． （-$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，$\sqrt{e}$）
• D． （$\sqrt{e}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得，存在x＜0使f（x）-g（-x）=0，即e^x-

1

2

-ln（-x+a）=0在（0，+∞）上有解，从而化为函数m（x）=e^x-

1

2

-ln（-x+a）在（0，+∞）上有零点，利用函数零点的判定定理，从而求解．

解答 解：若函数f（x）=x²+e^x-

1

2

（x＜0）与g（x）=x²+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，
则等价于方程f（x）=g（-x），在x＞0时有解．
方程即x²+e^x-

1

2

=x²+ln（-x+a），
即方程e^x-

1

2

-ln（-x+a）=0在（0，+∞）上有解．
令m（x）=e^x-

1

2

-ln（-x+a），
则m（x）=e^x-

1

2

-ln（-x+a）在其定义域上是增函数，
且x→+∞时，m（x）→+∞，
当x→0时，m（x）→$\frac{1}{2}$-lna，∴$\frac{1}{2}$-lna＜0，∴lna＞$\frac{1}{2}$，∴a＞$\sqrt{e}$，
综上所述，a∈（

e

，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键．，综合性较强，难度较大，属于难题．