Question

10．直线l过点P（1，4），且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当|OA|+|OB|最小时，求l的方程；
（2）若△AOB的面积最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设出A、B的坐标，可以表示出直线l的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，由于直线l过点P（1，4），则有$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，分析可得|OA|+|OB|=a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+（$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$），由基本不等式的性质分析可得答案；
（2）设△AOB的面积为S，则S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{ab}{2}$，又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，结合不等式的性质分析可得ab的最小值以及等号成立的条件，由此条件分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，设A的坐标为（a，0），B的坐标为（0，b），（a、b＞0），
则直线l的方程为：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
由于直线l过点P（1，4），则有$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，
又由|OA|=a，|OB|=b，
则|OA|+|OB|=a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+（$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$=9，
当且仅当b=2a时等号成立，
又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，等号成立时b=2a=6，
此时直线的方程为$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{6}$=1，即2x+y-6=0，
（2）设△AOB的面积为S，则S=$\frac{1}{2}$|OA||OB|=$\frac{ab}{2}$，
又由$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=1，则有1≥2$\sqrt{\frac{1}{a}×\frac{4}{b}}$，变形可以化为ab≥16，当且仅当b=4a=8时取等号．
此时S=$\frac{ab}{2}$取得最小值，
l的方程为：4x+y-8=0．

点评 本题给出经过定点的直线，求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知识，属于中档题．