Question

18．已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|
（Ⅰ）求不等式f（x）＜5的解集
（Ⅱ）若对于任意的实数x恒有f（x）≥|a-1|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值，再根据此最小值大于或等于|a-1|，解绝对值不等式，求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜5，即|x+2|+|x-1|＜5．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2+1-x＜5}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x+2+1-x＜5}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2+x-1＜5}\end{array}\right.$③．
解①求得-3＜x＜-2，解②求得-2≤x≤1，解③求得1＜x＜2．
综上可得，不等式的解集为{x|-3＜x＜2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x-1|≥|x+2-（x-1）|=3，
对于任意的实数x恒有f（x）≥|a-1|成立，∴3≥|a-1|，∴-3≤a-1≤3，
∴-2≤a≤4，即实数a的取值范围为[-2，4]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．