Question

4．已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为$\frac{20π}{3}$．

Answer 1

分析 首先判定当AF⊥面BCD时，四面体ABCD的体积最大，设O为四面体ABCD外接球的球心，O₁，O₂分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．可得四面体ABCD外接球的半径R=$\sqrt{O{{O}_{2}}^{2}+{O}_{2}{D}^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$，即可求得外接球的表面积

解答 解：如图，取BC中点F，连接AF，DF，
∵△ABC与△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；
∴BC⊥平面ADF，BC?平面BCD；
∴平面BCD⊥平面ADF，过A作AH⊥DF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，即线段AH的长是点A到平面BCD的距离；∴当AF⊥面BCD时，四面体ABCD的体积最大，
     设O为四面体ABCD外接球的球心，O₁，O₂分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．
∴OO₁⊥平面ABC，OO₂⊥平面BCD，且O₁F=O₂F=OO₁=OO₂=2×sin60°×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
${O}_{2}C={O}_{2}D=\frac{2}{\sqrt{3}}$，∴四面体ABCD外接球的半径R=$\sqrt{O{{O}_{2}}^{2}+{O}_{2}{D}^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$
外接球的表面积为4πR²=$\frac{20π}{3}$

故答案为：$\frac{20π}{3}$

点评 本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，属于难题．