Question

9．若点A（1，-2），B（2，1）在矩阵M的变换下分别得到点A'（2，-6），B'（4，3）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若曲线C在M的作用下的新曲线为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；
（Ⅱ）先设P（x，y）是曲线C上的任一点，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P₁的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．

解答 解：（Ⅰ）设矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，根据题意得$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=2}\\{c-2d=-6}\\{2a+b=4}\\{2c+d=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=0}\\{c=0}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴矩阵M=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$；
（Ⅱ）变换T所对应关系$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=3y}\end{array}\right.$，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，整理得：x²+y²=1．
∴曲线C的方程x²+y²=1．（10分）

点评 本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，考查计算能力，属于基础题．