Question

14．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的AA₁，BC的中点P、Q作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$a
• B． $\frac{1}{2}$a
• C． $\frac{1}{4}$a
• D． （$\sqrt{2}$-1）a

Answer 1

分析 推导出△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{a}$，求出|PQ|=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，则O到PQ的距离d=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，由此能求出直线PQ被球面截在球内的线段长．

解答 解：如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个内切球O，
过正方体中两条互为异面直线的AA₁，BC的中点P、Q作直线，
直线PQ被球面截在球内的线段为MN，
则△OPQ是等腰三角形，且|OP|=|OQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{a}$，
∵|PQ|=$\sqrt{A{P}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+（{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴O到PQ的距离为d=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}a）^{2}}$=$\frac{a}{2\sqrt{2}}$，
∴直线PQ被球面截在球内的线段MN=2$\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}-（\frac{a}{2\sqrt{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
故选：A．

点评 本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．