Question

5．设函数f（x）=x²-|x²-mx-4|（m为常数）x∈[-4，4]，f（x）经过点（2，4）．
（1）求m的值，并画出f（x）的图象；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意知f（2）=4-|4-2m-4|=4，解得m=0，从而f（x）=x²-|x²-4|=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，由此能画出函数的图象
（2）结合图象能求出函数f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-|x²-mx-4|（m为常数）x∈[-4，4]，f（x）经过点（2，4），
∴由题意可得f（2）=4，即f（2）=4-|4-2m-4|=4，解得m=0；
∴f（x）=x²-|x²-4|，
当x²-4≥0，解得x≥2或x≤-2，
由-4≤x≤4，即有-4≤x≤-2或2≤x≤4，
可得f（x）=x²-（x²-4）=4，为常数函数；
当x²-4＜0，解得-2＜x＜2，
由-4≤x≤4，即有-2＜x＜2，
可得f（x）=x²-（4-x²=2x²-4，
单调减区间为（-2，0），增区间为（0，2），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4，-4≤x≤-2或2≤x≤4}\\{2{x}^{2}-4，-2＜x＜2}\end{array}\right.$，
画出函数的图象，如右图．
（2）由（1）结合图象得：
当x=0时，函数f（x）取最小值f（x）_min=f（0）=2×0²-4=-4．
当-4≤x≤-2或2≤x≤4时，函数f（x）取最大值f（x）_max=4．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数图象的作法，考查函数的最大值与最小值的求法，考查函数性质、函数图象、函数最值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．