Question

17．在若数列{a_n}中，若a_n=$|\begin{array}{l}{\frac{1}{n}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{\frac{1}{n+1}}\end{array}|$，则数列{a_n}的前n项和S_n=$-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知写出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：∵a_n=$|\begin{array}{l}{\frac{1}{n}}&{\frac{1}{2}}\\{2}&{\frac{1}{n+1}}\end{array}|$=$\frac{1}{n（n+1）}-1$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-1$，
∴${S}_{n}=（1-\frac{1}{2}-1）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-1）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-1）$
=$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）-n$=$1-\frac{1}{n+1}-n=\frac{n+1-1-{n}^{2}-n}{n+1}=-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
故答案为：$-\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

点评 本题考查利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．