Question

3．.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且bcosC+ccosB=3acosB
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若ac=6，且b=2$\sqrt{2}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于bcosC+ccosB=3acosB，利用正弦定理代换得出sinBbcosC+sinCcosB=3sinAcosB，整理sin（B+C）=3sinAcosB，易求cosB．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可求a²+c²=12，联立ac=6，即可解得a，c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵由于bcosC+ccosB=3acosB，
∴利用正弦定理代换得出sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
∴整理sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，
∵由于sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵ac=6，cosB=$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，可得：8=a²+c²-4，化为a²+c²=12．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ac=6}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得a=c=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．