Question

2．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，点N为CD的中点．若$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AD}=（4，4）$．
（1）求向量$\overrightarrow{AN}$的坐标；
（2）求向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{AM}$的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的线性运算与坐标表示以及中点坐标公式，求出向量$\overrightarrow{AN}$；
（2）设向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{AM}$的夹角为θ，利用数量积公式求出cosθ的值．

解答 解：（1）平行四边形ABCD，$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AD}=（4，4）$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=（8，4）；
又N为CD的中点，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（12，8）=（6，4）；
（2）设向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{AM}$的夹角为θ，
且$\overrightarrow{AB}$=（4，0），$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=（4，2），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$=4×4+0×2=16，
$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{{4}^{2}{+0}^{2}}$=4，|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{16}{4×2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与线性运算、数量积运算问题，是中档题．