Question

13．己知函数f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x² （a∈R）．
（Ⅰ）求a=l时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的极值判断函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$-x，
a=1时，f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a{-x}^{2}}{x}$，
（1）a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，
x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→-∞，
故f（x）在（0，+∞）上只有1个零点，
（2）a=0时，f（x）＜0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）没有零点，
（3）a＞0时，x∈（0，$\sqrt{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\sqrt{a}$）递增，
x∈（$\sqrt{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在区间（$\sqrt{a}$，+∞）递减，
故x=$\sqrt{a}$时，f（x）取极大值f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a}{2}$（lna-1），
①a=e时，极大值是f（$\sqrt{a}$）=0，f（x）在（0，+∞）上有1个零点，
②0＜a＜e时，极大值f（$\sqrt{a}$）＜0，f（x）在（0，+∞）没有零点，
③a＞e时，极大值是f（$\sqrt{a}$）＞0，
x→0时，f（x）→-∞，x→+∞时，f（x）→-∞，
故f（x）在（0，+∞）2个零点，
综上，0≤a＜e时，函数没有零点，
a＜0或a=e时函数1个零点，a＞e时，函数2个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．