Question

1．设函数f（x）=e^x（3x-1）-ax+a，其中a＜1，若仅有两个整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{2}{e}$，1]
• B． [$\frac{7}{3{e}^{2}}$，1]
• C． [0，$\frac{2}{e}$]
• D． [$\frac{7}{3{e}^{2}}$，$\frac{2}{e}$]

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数x₀使得g（x₀）在直线h（x）=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，解g（-1）-h（-1）＜0，g（-2）-h（-2）＞0，求得a的取值范围．

解答 解：设g（x）=e^x（3x-1），h（x）=ax-a，
则g′（x）=e^x（3x+2），
∴x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（-$\frac{2}{3}$，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x=-$\frac{2}{3}$，取最小值-3${e}^{-\frac{2}{3}}$，
∴g（0）=-1＜-a=h（0），
g（1）-h（1）=2e＞0，
直线h（x）=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（-1）-h（-1）=-4e^-1+2a≤0，
∴a≤$\frac{2}{e}$，
g（-2）=-$\frac{7}{{e}^{2}}$，h（-2）=-3a，
由g（-2）-h（-2）≥0，解得：a≥$\frac{7}{{3e}^{2}}$，
故选：D．

点评 本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．