Question

2．已知变换T把平面上的点A（2，0），B（0，$\sqrt{3}$）分别变换成点A'（2，2），B'（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
（1）试求变换T对应的矩阵M；
（2）若曲线C在变换T的作用下所得到的曲线的方程为x²-y²=4，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可；
（2）先设P（x，y）是曲线C上的任一点，P₁（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P₁的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．

解答 解：（1）设矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，根据题意得$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，则$\left\{\begin{array}{l}{x′=ax+by}\\{y′=cx+dy}\end{array}\right.$，
A（2，0），变换为A'（2，2），得：a=1，c=1，
B（0，$\sqrt{3}$）变换为B'（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），得：b=-1，d=1，
∴矩阵M=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{array}]$；
（2）变换T所对应关系$\left\{\begin{array}{l}{x′=x-y}\\{y′=x+y}\end{array}\right.$，
代入x²-y²=4，得：xy=-1，
若曲线C：xy=-1，在变换T的作用下所得到的曲线的方程为x²-y²=4，
曲线C的方程xy=-1．

点评 本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，考查计算能力，属于基础题．