Question

6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C₁上的点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的标准方程；
（Ⅱ）若点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）在曲线C₁上，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）及对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$，得a=2，b=1，由此能求出曲线C₁的参数方程，进而得到曲线C₁的标准方程；设圆C₂的半径为R，曲题意圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R²，将点D（1，$\frac{π}{3}$）代入ρ=2Rcosθ，得R=1，由此能求出曲线C₂的标准方程．
（Ⅱ）由点A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$）在曲线C₁上，得到$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）=1$，由此能求出$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）将M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）及对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴曲线C₁的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
设圆C₂的半径为R，曲题意圆C₂的方程为ρ=2Rcosθ，
即（x-R）²+y²=R²，
将点D（1，$\frac{π}{3}$）代入ρ=2Rcosθ，得1=2Rcos$\frac{π}{3}$，即R=1，
∴曲线C₂的标准方程为（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）∵点A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$）在曲线C₁上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）=1$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$）=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查曲线的标准方程的求法，考查代数式求值，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．