Question

19．已知函数y=xf′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数）的图象如图所示，则y=f（x）的大致图象可能是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据题意，设函数y=xf′（x）与x轴负半轴交于点M（m，0），且-2＜m＜-1；与x轴正半轴交于点N（1，0），结合函数y=xf′（x）的图象分段讨论y=f′（x）的符号，进而分析函数y=f（x）的单调性，分析选项即可得答案．

解答 解：根据题意，设函数y=xf′（x）与x轴负半轴交于点M（m，0），且-2＜m＜-1；与x轴正半轴交于点N（1，0），
当x＜m时，x＜0而y=xf′（x）＜0，则有y=f′（x）＞0，函数y=f（x）在（-∞，m）上为增函数；
当m＜x＜0时，x＜0而y=xf′（x）＞0，则有y=f′（x）＜0，函数y=f（x）在（m，0）上为减函数；
当0＜x＜1时，x＞0而y=xf′（x）＜0，则有y=f′（x）＜0，函数y=f（x）在（0，1）上为减函数；
当x＞1时，x＞0而y=xf′（x）＞0，则有y=f′（x）＞0，函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数；
分析选项可得：C符合；
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的图象以及单调性，关键是分析出导数的符号．