Question

10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=$\frac{1}{3}$tanx的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{2}}{3}$π．

Answer 1

分析 根据题意，令sinx=$\frac{1}{3}$tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．

解答 解：根据题意，令sinx=$\frac{1}{3}$tanx，即sinx（1-$\frac{1}{3cosx}$）=0，解得sinx=0，或1-$\frac{1}{3cosx}$=0，
即sinx=0或cosx=$\frac{1}{3}$．
又x∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos$\frac{1}{3}$，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•|AB|•|y_C|=$\frac{1}{2}•π•\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$π，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．